НОУ ІНТУЇТ | лекція | Завдання вищої математики з Maxima

1. 3.9.5 Ряд Фур'є для функцій з періодом 2l нехай - періодична з періодом функція, яка на відрізку...
2. 3.9.7 Додаткові можливості: пакет fourie
3. 3.9.8 Додаткові можливості: узагальнені ряди Фур'є

3.9.5 Ряд Фур'є для функцій з періодом 2l

Наша взаимовыгодная связь https://banwar.org/

нехай - періодична з періодом функція, яка на відрізку задовольняє умовам теореми Діріхле. Розкладемо її на цьому відрізку в ряд Фур'є. позначимо

тоді

функція - вже -періодична функція, так як

функцію розкладемо в ряд Фур'є на відрізку

Коефіцієнти цього ряду обчислюються за формулами:

Повертаючись до колишньої змінної , З рівності (3.3) маємо . Тоді ряд (3.4) можна представити у вигляді

У інтеграли (3.5) і (3.6) зробимо заміну змінної:

якщо - парна на функція, то , а , Ряд Фур'є такої функції має вигляд:

якщо - непарна на функція, то ,

, Ряд Фур'є має вигляд:

Приклад: Розкласти в ряд Фур'є періодичну з періодом функцію , Задану формулою

Ця функція на відрізку [-1, 1] задовольняє умовам теореми Діріхле. Ряд Фур'є для даної функції:

Сума цього ряду в точках дорівнює .

Розглянемо видозміна функції Maxima, необхідної для обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є для функції з періодом . Розглянемо текст функції :

fun12l (x, n, l, f1, f2): = (for k: 0 thru n do a [k]: 1 / l * (integrate (f1 * cos (% pi * k * x / l), x, -l, 0) + integrate (f2 * cos (% pi * k * x / l), x, 0, l)), for k: 1 thru n do b [k]: 1 / l * (integrate (f1 * sin (% pi * k * x / l), x, -l, 0) + integrate (f2 * sin (% pi * k * x / l), x, 0, l)), a [0] / 2 + sum (a [k] * cos (% pi * k * x / l), k, 1, n) + sum (b [k] * sin (% pi * k * x / l), k, 1 , n)) $

Основна зміна по порівняння з варіантами, наведеними вище - використання тригонометричних функцій і

Висновок Maxima для перших семи членів ряду Фур'є:

Для побудови графіка власне аналізованої функції (її представляє кусково-неперервна функція ) І часткової суми її ряду Фур'є з результатів розкладання формуємо нову функцію , Після чого стандартної командою будуємо графік:

(% I7) g (x): = "% $ (% i8) f (x): = (if x <0 then 0 else x) $ (% i9) wxplot2d ([g (x), f (x) ], [x, -2.2,1.6]);

Графічна ілюстрація, що показує зіставлення даної функції і ряду Фур'є на заданому відрізку - на Мал. 3.22 .

3.9.6 Комплексна форма ряду Фур'є

нехай функція на розкладена в ряд Фур'є

Скористаємося формулами Ейлера:

Підставами ці вирази в ряд (3.8), маємо:

позначимо:

тоді

отже

Вираз (3.10) називається комплексної формою ряду Фур'є функції з комплексними коефіцієнтами Фур'є . коефіцієнти Фур'є обчислюються за формулами :

якщо - періодична з періодом функція, то її комплексний ряд Фур'є має вигляд:

а коефіцієнти Фур'є визначаються за формулою

Приклад: Розкласти в ряд Фур'є з комплексними коефіцієнтами періодичну з періодом функцію, задану на відрізку [-1, 1] рівністю .

(% I1) n: 5 $ f: x ^ 2 $ l: 1 $ c (k): = 1/2 / l * integrate (f * exp (-% i *% pi * k * x / l), x, -l, l) $ z: makelist (k-6, k, 1, 2 * n + 1) $ cr: makelist (c (z [k]), k, 1,2 * n + 1) $ fk: makelist (cr [k] * exp (% i *% pi * z [k] * x / l), k, 1,2 * n + 1) $ g: sum (fk [k], k, 1 , 2 * n + 1) $ gend: trigreduce (ratsimp (rectform (g)));

В даному прикладі члени часткової суми ряду Фур'є представляються списком. У представленому обчисленні . список містить коефіцієнти ряду в комплексній формі (при підсумовуванні від до індекс елемента ряду міститься в ). Власне члени ряду Фур'є скомпоновані в список , Після підсумовування якого отримуємо суму ряду (вираз ). Для побудови графіка необхідно спростити вираз (Див. Приклад, результат спрощення - вираз ). Очевидно, що для перегляду проміжних результатів (вони досить об'ємні) термінальні символи $ можна замінити на;.

3.9.7 Додаткові можливості: пакет fourie

Пакет розширення fourie призначений для розрахунку коефіцієнтів тригонометричних рядів Фур'є, а також інтеграла Фур'є. Функції, що входять до складу пакета, дозволяють знаходити точне аналітичне вираз всіх, а не перших декількох коефіцієнтів ряду Фур'є.

функція дозволяє обчислити коефіцієнти ряду Фур'є (синтаксис виклику: ), Яка повертає список коефіцієнтів Фур'є , Визначених на інтервалі . Власне ряд Фур'є дозволяє побудувати функція (Синтаксис виклику ), Яка конструює і повертає ряд Фур'є, використовуючи список коефіцієнтів Фур'є ( може бути і нескінченним, рівним ).

Коефіцієнти рядів Фур'є по синусах і по косинусам обчислюються функціями (Синтаксис і аналогічні функції ).

Обчислення і підстановка і здійснюється спеціальною функцією . Управління підстановкою здійснюється за допомогою прапорів і (Якщо вони встановлені в , Обчислення і підстановка виконуються, це режим за замовчуванням).

Для управління процесом розкладання різних функцій в ряд Фур'є передбачені наступні функції:

1. . синтаксис виклику або . Ця функція дозволяє замінити всі входження функції в вираженні на (в формі заміна здійснюється лише тоді, коли містить );
2. . Ця функція (синтаксис виклику або ) повертає , Якщо вираз містить функцію або конкретно ;
3. . Ця функція дозволяє обчислити невизначений або певний інтеграл абсолютних значень функції (Її визначення може включати вирази ). синтаксис виклику - частина числової осі), (Невизначений інтеграл по позитивної півосі), (визначений інтеграл).

Загальну форму ряду Фур'є (після підстановки і спрощення) дозволяє побудувати функція .

Коефіцієнти інтеграла Фур'є на інтервалі (- inf, inf) дозволяє обчислити функція , Інтеграла по косинусам або синусів на інтервалі (0, inf) - функції і відповідно.

Щоб користуватися пакетом fourie його необхідно попередньо завантажити командою load ( "fourie").

збільшити зображення
Мал.3.23.

Графік часткової суми ряду Фур'є для функції f (x) = x, побудованої за допомогою пакета fourie

Приклади використання пакета fourie (графік отриманої функції наведено на Мал. 3.23 ):

(% I1) load ( "fourie") $ fourier (x, x,% pi); (% I8) fourexpand (%, x,% pi, 10);

3.9.8 Додаткові можливості: узагальнені ряди Фур'є

Як зазначалося вище, поряд з тригонометричної ортонормованій системою функцій досить широко використовуються і інші (зокрема, поліноми Лежандра, Чебишева, Ерміта і ін.). Розглянемо представлення функції узагальненим рядом Фур'є за поліномами Лежандра.

Обчислення значень ортогональних поліномів в Maxima здійснюється за допомогою пакета orthopoly, який дозволяє оперувати полиномами Чебишева, Лежандра, Ерміта, Якобі та ін., А також рядом сферичних функцій.

Інтегрована на інтервалі (-1, 1) кусочно-безперервна функція може бути представлена ​​узагальненим рядом Фур'є (в даному випадку - за поліномами Лежандра):

де - поліном Лежандра ступеня - коефіцієнти Фур'є для розкладання за поліномами Лежандра. значення обчислюються за формулою:

Приклад обчислення розкладання функції на інтервалі (-1, 1) в ряд за поліномами Лежандра представлений наступними командами:

(% I1) load (orthopoly) $ n: 5 $ f: exp (x) $ l: 1 $ c (m): = (2 * m + 1) / 2 * integrate (f * legendre * p (m, x), x, -l, l) $ z: makelist (k-1, k, 1, n + 1) $ cr: makelist (c (z [k]), k, 1, n + 1) $ fk : makelist (cr [k] * legendre_p (z [k], x), k, 1, n + 1) $ g: sum (fk [k], k, 1, n + 1) $

Графік отриманого виразу в порівнянні з функцією показаний на Мал. 3.24 .

Як видно з малюнка, графіки експоненти і отриманого розкладу збігаються. В збігу результатів можна переконатися, зіставивши вираз (Після спрощення) і розкладання експоненти в ряд Тейлора.