WikiZero - Прямокутна система координат

1. Прямокутна система координат на площині [ правити | правити код ]
2. Прямокутна система координат в просторі [ правити | правити код ]
3. Прямокутна система координат в багатовимірному просторі [ правити | правити код ]

Наша взаимовыгодная связь https://banwar.org/

open wikipedia design.

Прямокутна система координат - прямолінійна система координат з взаємно перпендикулярними осями на площині або в просторі. Найбільш проста і тому часто використовувана система координат. Дуже легко і просто узагальнюється для просторів будь-якої розмірності, що також сприяє її широкому застосуванню.

Пов'язані терміни: декартовой зазвичай називають прямокутну систему координат з однаковими масштабами по осях (названої так по імені Рене Декарта ), А загальної декартовой системою координат називають аффинную систему координат (Не прямокутна) [1] .

Прямокутна система координат на площині [ правити | правити код ]

Прямокутна система координат на площині утворюється двома взаємно перпендикулярними осями координат X 'X {\ displaystyle X'X} і Y 'Y {\ displaystyle Y'Y} . Осі координат перетинаються в точці O {\ displaystyle O} , яка називається початком координат , На кожній осі вибрано позитивний напрямок.

Положення точки A {\ displaystyle A} на площині визначається двома координатами x {\ displaystyle x} і y {\ displaystyle y} . Координата x {\ displaystyle x} дорівнює довжині відрізка O B {\ displaystyle OB} , Координата y {\ displaystyle y} - довжині відрізка O C {\ displaystyle OC} в вибраних одиницях виміру. Відрізки O B {\ displaystyle OB} і O C {\ displaystyle OC} визначаються лініями, проведеними з точки A {\ displaystyle A} паралельно осях Y 'Y {\ displaystyle Y'Y} і X 'X {\ displaystyle X'X} відповідно.

При цьому координаті x {\ displaystyle x} приписується знак мінус, якщо точка B {\ displaystyle B} лежить на промені O X '{\ displaystyle OX'} (А не на промені O X {\ displaystyle OX} , Як на малюнку). Координаті y {\ displaystyle y} приписується знак мінус, якщо точка C {\ displaystyle C} лежить на промені O Y '{\ displaystyle OY'} . Таким чином, O X '{\ displaystyle OX'} і O Y '{\ displaystyle OY'} є негативними напрямками осей координат (кожна вісь координат розглядається як числова вісь ).

Ось X 'X {\ displaystyle X'X} називається віссю абсцис, а вісь Y 'Y {\ displaystyle Y'Y} - віссю ординат. Координата x {\ displaystyle x} називається абсциссой точки A {\ displaystyle A} , Координата y {\ displaystyle y} - ординатою точки A {\ displaystyle A} .

Символічно це записують так:

A (x, y) {\ displaystyle A (x, \; y)}

або

A = (x, y) {\ displaystyle A = (x, \; y)}

або вказують приналежність координат конкретній точці за допомогою індексу:

x A, x B {\ displaystyle x_ {A}, x_ {B}}

і т.д.

Прямокутна система координат в просторі [ правити | правити код ]

Прямокутна система координат в просторі (в цьому параграфі мається на увазі тривимірне простір, про більш багатовимірних просторах - див. Нижче) утворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат O X {\ displaystyle OX} , O Y {\ displaystyle OY} і O Z {\ displaystyle OZ} . Осі координат перетинаються в точці O {\ displaystyle O} , Яка називається початком координат, на кожній осі вибрано позитивний напрямок, вказане стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру зазвичай (не обов'язково [2] ) Однакові для всіх осей. O X {\ displaystyle OX} - вісь абсцис , O Y {\ displaystyle OY} - вісь ординат , O Z {\ displaystyle OZ} - вісь аплікат .

Положення точки A {\ displaystyle A} в просторі визначається трьома координатами x {\ displaystyle x} , Y {\ displaystyle y} і z {\ displaystyle z} . Координата x {\ displaystyle x} дорівнює довжині відрізка O B {\ displaystyle OB} , Координата y {\ displaystyle y} - довжині відрізка O C {\ displaystyle OC} , Координата z {\ displaystyle z} - довжині відрізка O D {\ displaystyle OD} в вибраних одиницях виміру. Відрізки O B {\ displaystyle OB} , O C {\ displaystyle OC} і O D {\ displaystyle OD} визначаються площинами, проведеними з точки A {\ displaystyle A} паралельно площинах Y O Z {\ displaystyle YOZ} , X O Z {\ displaystyle XOZ} і X O Y {\ displaystyle XOY} відповідно.

Координата x {\ displaystyle x} називається абсцисою точки A {\ displaystyle A} , Координата y {\ displaystyle y} - ординатою точки A {\ displaystyle A} , Координата z {\ displaystyle z} - аплікатою точки A {\ displaystyle A} .

Символічно це записують так:

A (x, y, z) {\ displaystyle A (x, \; y, \; z)}

або

A = (x, y, z) {\ displaystyle A = (x, \; y, \; z)}

або прив'язують запис координат до конкретної точки за допомогою індексу:

x A, y A, z A {\ displaystyle x_ {A}, \; y_ {A}, \; z_ {A}}

і т.п.

Кожна вісь розглядається як числова пряма , Т. Е. Має позитивний напрямок, а точкам, лежачим на негативному промені приписуються негативні значення координати (відстань береться зі знаком мінус). Тобто, якби, наприклад, точка B {\ displaystyle B} лежала не як на малюнку - на промені O X {\ displaystyle OX} , А на його продовженні в зворотну сторону від точки O {\ displaystyle O} (На негативній частині осі O X {\ displaystyle OX} ), То абсциса x {\ displaystyle x} точки A {\ displaystyle A} була б негативною (мінус віддалі O B {\ displaystyle OB} ). Аналогічно і для двох інших осей.

Всі прямокутні системи координат в тривимірному просторі діляться на два класи - праві (також використовуються терміни позитивні, стандартні) і ліві. Зазвичай за умовчанням намагаються використовувати праві координатні системи, а при їх графічному зображенні ще й мають у своєму розпорядженні їх, якщо можна, в одному з декількох звичайних (традиційних) положень. (На рис. 2 зображено права координатна система). Праву і ліву системи координат неможливо поворотами [3] поєднати так, щоб збіглися відповідні осі (і їх напрямки). Визначити, до якого класу належить будь-яка конкретно взята система координат, можна, використовуючи правило правої руки, правило гвинта і т. п. (позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при повороті осі O X {\ displaystyle OX} проти годинникової стрілки на 90 ° її позитивний напрямок співпало з позитивним напрямком осі O Y {\ displaystyle OY} , Якщо цей поворот спостерігати з боку позитивного напрямку осі O Z {\ displaystyle OZ} ).

Будь-яка з восьми областей, на які простір ділиться трьома взаємно перпендикулярними координатними площинами, називається Октант .

Прямокутна система координат в багатовимірному просторі [ правити | правити код ]

Прямокутна система координат може бути використана і в просторі будь-якої кінцевої розмірності аналогічно тому, як це робиться для тривимірного простору. Кількість координатних осей при цьому одно розмірності простору (В цьому параграфі будемо позначати її n {\ displaystyle n} ).

Для позначення координат зазвичай [4] застосовують не різні літери, а одну і ту ж букву з числовим індексом. Найчастіше це:

x 1, x 2, x 3, ... x n. {\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots x_ {n}.}

Для позначення довільній i {\ displaystyle i} -й координати з цього набору використовують буквений індекс:

x i, {\ displaystyle x_ {i},}

а нерідко позначення x i, {\ displaystyle x_ {i},} використовують і для позначення всього набору, маючи на увазі, що індекс пробігає весь набір значень: i = 1, 2, 3, ... n {\ displaystyle i = 1,2,3, \ dots n} .

У будь-якої розмірності простору прямокутні координатні системи діляться на два класи, праві і ліві (або позитивні і негативні). Для багатовимірних просторів якусь одну з координатних систем довільно (умовно) називають правою, а решта виявляються правими або лівими в залежності від того, тієї ж вони орієнтації чи ні [5] .

Узагальнення понять двовимірного квадранта і тривимірного октанта для n {\ displaystyle n} мірного евклідового простору - ортант або гіпероктант.

Для визначення прямокутних координат вектора (Застосовних для подання векторів будь-якої розмірності) можна виходити з того, що координати вектора (спрямованого відрізка), початок якого знаходиться в початку координат, збігаються з координатами його кінця [6] .

Для векторів (спрямованих відрізків), початок яких не збігається з початком координат, прямокутні координати можна визначити одним із двох способів:

1. вектор можна перенести так, щоб його початок збігся з початком координат). Тоді його координати визначаються способом, описаним на початку параграфа: координати вектора, перенесеного так, що його початок збігається з початком координат, - це координати його кінця.
2. Замість цього можна просто відняти від координат кінця вектора (спрямованого відрізка) координати його початку.

• Для прямокутних координат поняття координати вектора збігається з поняттям ортогональної проекції вектора на напрямок відповідної координатної осі.

У прямокутних координатах дуже просто записуються всі операції над векторами:

• Додавання і множення на скаляр:

a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3, ..., an + bn) {\ displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {b} = (a_ {1} + b_ {1}, a_ {2} + b_ {2}, a_ {3} + b_ {3}, \ dots, a_ {n} + b_ {n})}

або

(A + b) i = a i + b i, {\ displaystyle (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) _ {i} = a_ {i} + b_ {i},} ca = (ca 1, ca 2, ca 3, ..., can) {\ displaystyle c \ \ mathbf {a} = (c \ a_ {1}, c \ a_ {2}, c \ a_ {3}, \ dots, c \ a_ {n})}

або

(C a) i = c a i. {\ Displaystyle (c \ \ mathbf {a}) _ {i} = c \ a_ {i}.} а звідси і віднімання і ділення: a - b = (a 1 - b 1, a 2 - b 2, a 3 - b 3, ..., an - bn) {\ displaystyle \ mathbf {a} - \ mathbf {b} = (a_ {1} -b_ {1}, a_ {2} -b_ {2}, a_ {3} -b_ {3}, \ dots, a_ {n} -b_ {n})}

або

(A - b) i = a i - b i, {\ displaystyle (\ mathbf {a} - \ mathbf {b}) _ {i} = a_ {i} -b_ {i},} a λ = (a 1 λ, a 2 λ, a 3 λ, ..., an λ) {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {a}} {\ lambda}} = {\ Big (} {\ frac {a_ {1}} {\ lambda}}, {\ frac {a_ {2}} {\ lambda}}, {\ frac {a_ {3}} {\ lambda}}, \ dots, {\ frac {a_ {n }} {\ lambda}} {\ Big)}}

або

(A λ) i = a i λ. {\ Displaystyle {\ Big (} {\ frac {\ mathbf {a}} {\ lambda}} {\ Big)} _ {i} = {\ frac {a_ {i}} {\ lambda}}.}

(Це вірно для будь-якої розмірності n і навіть, нарівні з прямокутними, для косокутних координат).

a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + anbn {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2 } b_ {2} + a_ {3} b_ {3} + \ dots + a_ {n} b_ {n}}

або

a ⋅ b = Σ i = 1 n a i b i, {\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}

(Тільки в прямокутних координатах з одиничним масштабом по всіх осях).

• Через скалярний твір можна обчислити довжину вектора

| a | = A ⋅ a {\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}}} і кут між векторами ∠ (a, b) = a r c c o s a ⋅ b | a | ⋅ | b | {\ Displaystyle \ angle {(\ mathbf {a}, \ mathbf {b})} = \ mathrm {arccos} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {| \ mathbf {a} | \ cdot | \ mathbf {b} |}}} (A ∧ b) i j = a i b j - a j b i {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ land \ mathbf {b}) _ {ij} = a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}}

для будь-якої розмірності простору,

(A × b) x = a y b z - a z b y {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) _ {x} = a_ {y} b_ {z} -a_ {z} b_ {y}} (A × b) y = a z b x - a x b z {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) _ {y} = a_ {z} b_ {x} -a_ {x} b_ {z}} (A × b) z = a x b y - a y b x {\ displaystyle (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) _ {z} = a_ {x} b_ {y} -a_ {y} b_ {x}}

Очевидно, все це дозволяє, якщо треба, звести всі операції над векторами до досить простих операцій над числами.

Прямокутна система координат [7] (Будь-якої розмірності) також описується [8] набором ортов (Одиничних векторів), сонаправленнимі з осями координат. Кількість ортов одно розмірності системи координат і всі вони перпендикулярні один одному. Такі орт складають базис , притому ортонормованій [9] .

У тривимірному випадку такі орт зазвичай позначаються

i {\ displaystyle \ mathbf {i}} , J {\ displaystyle \ mathbf {j}} і k {\ displaystyle \ mathbf {k}}

або

e x {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x}} , E y {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {y}} і e z {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {z}} .

Можуть також застосовуватися позначення зі стрілками (i → {\ displaystyle {\ vec {i}}} , J → {\ displaystyle {\ vec {j}}} і k → {\ displaystyle {\ vec {k}}} або e → x {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {x}} , E → y {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {y}} і e → z {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}} ) Або інші відповідно до звичайним способом позначення векторів в тій чи іншій літературі.

При цьому в разі правої системи координат дійсні наступні формули з векторними творами ортов:

Для більш високих, ніж 3, розмірностей (або для загального випадку, коли розмірність може бути будь-який) зазвичай для ортов застосовують замість цього позначення з числовими індексами, досить часто [10] це

e 1, e 2, e 3, ... en, {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}, \ dots \ mathbf { e} _ {n},}

де n - розмірність простору.

Вектор будь-якої розмірності розкладається по базису (координати служать коефіцієнтами розкладання):

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + anen {\ displaystyle \ mathbf {a} = a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf { e} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {e} _ {3} + \ dots + a_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

або

a = Σ i = 1 n a i e i, {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mathbf {e} _ {i},}

а для ортонормированного базису координати ще й дуже легко знайти через скалярні твори з ортами:

a i = a ⋅ e i. {\ Displaystyle a_ {i} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}.}

Вперше прямокутну систему координат ввів Рене Декарт у своїй роботі " геометрія »в 1637 році . Тому прямокутну систему координат називають також - Декартова система координат. Координатний метод опису геометричних об'єктів поклав початок аналітичної геометрії. Внесок в розвиток координатного методу вніс також П'єр Ферма , Проте його роботи були вперше опубліковані вже після його смерті. Декарт і Ферма застосовували координатний метод тільки на площині.

Координатний метод для тривимірного простору вперше застосував Леонард Ейлер вже в XVIII столітті. Використання ортов сходить, мабуть, до Гамільтон і Максвеллові .

1. ↑ http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Велика Радянська Енциклопедія. сам же Р. Декарт в «Геометрії" (1637) вживав тільки систему координат на площині (і, взагалі, - косокутну).
2. ↑ Іноді це просто принципово неможливо, якщо по осях відкладаються величини різної фізичної розмірності; втім, з геометричної точки зору це зауваження не дуже суттєво, тому що можна тоді вважати масштаби по осях рівними умовно (наприклад масштаби так, щоб одиниці збігалися при зображуючи на геометричній площині).
3. ↑ Можна перетворити праву координатну систему в ліву і навпаки за допомогою дзеркального відображення.
4. ↑ Але не обов'язково: питання позначень в кінцевому підсумку визначається конкретним додатком.
5. ↑ Це можна з'ясувати, виходячи з того, чи можна якимись обертаннями (і переносами, якщо не збігаються початку координат) поєднати цю координатну систему з тією, орієнтація якої права за визначенням. Якщо так, то дана система вважається правою, якщо немає, то лівої. Ще простіше технічно це з'ясувати через знак визначника матриці перетворення від правого базису до даного.
6. ↑ Кінець спрямованого відрізка - точка; прямокутні координати точки розглянуті в статті вище.
7. ↑ У цьому параграфі будемо мати на увазі звичайну декартову систему координат, тобто прямокутну систему координат з однаковим масштабом по всіх осях; розгляд систем координат з різним масштабом по різних осях внесло б тут невиправдані формальні ускладнення при досить малому виграші змістовному відношенні.
8. ↑ Це опис очевидно повністю еквівалентно звичайному завданням осей координат, треба тільки ще задати початок координат (останнє нерідко очевидно за замовчуванням).
9. ↑ При відмові від умови равномасштабності координатних осей - просто ортогональний базис .
10. ↑ Втім, замість букви e нерідко можуть бути використані і інші літери. Як правило, це явно обумовлено.