Закон Бернуллі

Інтеграл Бернуллі в нестисливої рідини [ правити | правити код ]
Висновок формули Торрічеллі з закону Бернуллі [ правити | правити код ]
Інші прояви та застосування закону Бернуллі [ правити | правити код ]
Застосування в гідравліки [ правити | правити код ]
Інтеграл Бернуллі в баротропного течіях [ правити | правити код ]
Формула Сен-Венана - Ванцеля [ правити | правити код ]

Наша взаимовыгодная связь https://banwar.org/

закон Бернуллі [1] (також рівняння Бернуллі [2] [3] , Теорема Бернуллі [4] [5] або інтеграл Бернуллі [2] [6] [7] ) Встановлює залежність між швидкістю стаціонарного потоку рідини і її тиском . Згідно з цим законом, якщо уздовж лінії потоку тиск рідини зростає, то швидкість течії зменшується, і навпаки. Кількісне вираження закону у вигляді інтеграла Бернуллі є результатом інтегрування рівнянь гідродинаміки ідеальної рідини [2] (Тобто без в'язкості і теплопровідності ).

для випадку нестисливої рідини результат, еквівалентний сучасному рівняння Бернуллі, був опублікований в 1738 році Данилом Бернуллі [K 1] . У сучасному вигляді інтеграл був опублікований Іоганном Бернуллі в 1743 році [11] для випадку нестисливої рідини, а для деяких випадків течій стисливої рідини - Ейлером в 1757 році [12] .

Інтеграл Бернуллі в нестисливої рідини [ правити | правити код ]

Для стаціонарного течії нестисливої рідини рівняння Бернуллі може бути отримано як наслідок закону збереження енергії . Закон Бернуллі стверджує, що величина ρ v 2/2 + ρ g h + p {\ displaystyle \ rho v ^ {2} / 2 + \ rho gh + p} Для стаціонарного течії нестисливої рідини рівняння Бернуллі може бути отримано як наслідок закону збереження енергії зберігає постійне значення уздовж лінії струму:

ρ v 2 + 2 + ρ g h + p = const. {\ Displaystyle {\ frac {\ rho v ^ {2}} {2}} + \ rho gh + p = {\ text {const}}.}

тут

ρ {\ displaystyle \ rho} $ρ {\ displaystyle \ rho} - щільність рідини; v {\ displaystyle v} - швидкість потоку; h {\ displaystyle h} - висота; p {\ displaystyle p} - тиск ; g {\ displaystyle g} - прискорення вільного падіння$ - щільність рідини; v {\ displaystyle v} - швидкість потоку; h {\ displaystyle h} - висота; p {\ displaystyle p} - тиск ; g {\ displaystyle g} - прискорення вільного падіння .

Константа в правій частині (може відрізнятися для різних ліній струму) іноді називається повним тиском [2] . Можуть також використовуватися терміни «вагове тиск» ρ g h {\ displaystyle \ rho gh} Константа в правій частині (може відрізнятися для різних ліній струму) іноді називається повним тиском [2] , «Статичний тиск» p {\ displaystyle p} і «динамічний тиск» ρ v 2/2 {\ displaystyle \ rho v ^ {2} / 2} . За словами Д. В. Сивухин [13] , Нераціональність цих понять відзначалася багатьма фізиками.

Розмірність всіх доданків - одиниця енергії на одиницю об'єму. Перше і друге складова в інтегралі Бернуллі мають сенс кінетичної і потенційної енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. Третє складова за своїм походженням є роботою сил тиску (див. наведений вище висновок рівняння Бернуллі), але в гідравліки може називатися «енергією тиску» і частиною потенційної енергії [14] ).

Висновок формули Торрічеллі з закону Бернуллі [ правити | правити код ]

У застосуванні до закінчення ідеальної нестисливої рідини через малий отвір в бічній стінці або дні широкого судини закон Бернуллі дає рівність повних тисків на вільної поверхні рідини і на виході з отвору:

ρ g h + p 0 = ρ v 2 2 + p 0, {\ displaystyle \ rho gh + p_ {0} = {\ frac {\ rho v ^ {2}} {2}} + p_ {0},} $ρ g h + p 0 = ρ v 2 2 + p 0, {\ displaystyle \ rho gh + p_ {0} = {\ frac {\ rho v ^ {2}} {2}} + p_ {0},}$

де

h {\ displaystyle h} $h {\ displaystyle h} - висота стовпа рідини в посудині, відрахувавши від рівня отвору, v {\ displaystyle v} - швидкість витікання рідини, p 0 {\ displaystyle p_ {0}} - атмосферний тиск$ - висота стовпа рідини в посудині, відрахувавши від рівня отвору, v {\ displaystyle v} - швидкість витікання рідини, p 0 {\ displaystyle p_ {0}} - атмосферний тиск .

Звідси: v = 2 g h {\ displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}} $Звідси: v = 2 g h {\ displaystyle v = {\ sqrt {2gh}}}$ . це - формула Торрічеллі . Вона показує, що при закінченні рідина набуває швидкість, яку отримало б тіло, вільно падаюче з висоти h {\ displaystyle h} . Або, якщо спливала з малого отвору в посудині струмінь спрямувати вгору, у верхній точці (в нехтуванні втратами) струмінь досягне рівня вільної поверхні в посудині [15] .

Інші прояви та застосування закону Бернуллі [ правити | правити код ]

Наближення нестисливої рідини, а з ним і закон Бернуллі справедливі і для ламінарних течій газу, якщо тільки швидкості течії малі в порівнянні з швидкістю звуку [16] .

Уздовж горизонтальної труби координата z {\ displaystyle z} $Уздовж горизонтальної труби координата z {\ displaystyle z} постійна і рівняння Бернуллі приймає вигляд ρ v 2 2 + p = const {\ displaystyle {\ frac {\ rho v ^ {2}} {2}} + p = {\ text {const}}}$ постійна і рівняння Бернуллі приймає вигляд ρ v 2 2 + p = const {\ displaystyle {\ frac {\ rho v ^ {2}} {2}} + p = {\ text {const}}} . Звідси випливає, що при зменшенні перерізу потоку через зростання швидкості тиск падає. Ефект зниження тиску при збільшенні швидкості потоку лежить в основі роботи витратоміра Вентурі [17] і струминного насоса [1] .

Закон Бернуллі пояснює, чому суду, що рухаються паралельним курсом, можуть притягатися один до одного (наприклад, такий інцидент стався з лайнером « Олімпік ») [18] .

Застосування в гідравліки [ правити | правити код ]

Послідовне застосування закону Бернуллі призвело до появи технічної гидромеханической дисципліни - гідравліки . Для технічних додатків часто рівняння Бернуллі записується у вигляді, в якому всі члени розділені на « питома вага »Ρ g {\ displaystyle \ rho g} Послідовне застосування закону Бернуллі призвело до появи технічної гидромеханической дисципліни - гідравліки :

H = h + p ρ g + v 2 2 g = const, {\ displaystyle H = h + {\ frac {p} {\ rho g}} + {\ frac {v ^ {2}} {2g}} = { \ text {const}},} $H = h + p ρ g + v 2 2 g = const, {\ displaystyle H = h + {\ frac {p} {\ rho g}} + {\ frac {v ^ {2}} {2g}} = { \ text {const}},}$

де мають розмірність довжини члени в цьому рівнянні можуть мати такі назви:

H {\ displaystyle H} $H {\ displaystyle H} - гідравлічна висота [4] або натиск [19] , H {\ displaystyle h} - нівелірна висота [4] , P ρ g {\ displaystyle {\ frac {p} {\ rho g}}} - пьезометрические висота [4] або (в сумі з нівелірної висотою) гідростатичний напір [19] , V 2 2 g {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2g}}} - швидкісна висота [4] або швидкісний напір [19]$ - гідравлічна висота [4] або натиск [19] , H {\ displaystyle h} - нівелірна висота [4] , P ρ g {\ displaystyle {\ frac {p} {\ rho g}}} - пьезометрические висота [4] або (в сумі з нівелірної висотою) гідростатичний напір [19] , V 2 2 g {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2g}}} - швидкісна висота [4] або швидкісний напір [19] .

Закон Бернуллі справедливий тільки для ідеальних рідин, в яких відсутні втрати на в'язке тертя . Для опису течій реальних рідин в технічної гідромеханіки (гідравліки) використовують інтеграл Бернуллі з додаванням доданків, приблизно враховують різні « гідравлічні втрати напору » [19] .

Інтеграл Бернуллі в баротропного течіях [ правити | правити код ]

Рівняння Бернуллі може бути виведено і з рівняння руху рідини [K 2] [K 3] . При цьому протягом передбачається стаціонарним і баротропного . Останнє означає, що щільність рідини або газу не обов'язково постійна (як у предполагавшейся раніше нестисливої рідини), але є функцією тільки тиску: ρ = ρ (p) {\ displaystyle \ rho = \ rho (p)} Рівняння Бернуллі може бути виведено і з рівняння руху рідини [K 2] [K 3] , Що дозволяє ввести функцію тиску [22] P = ∫ d p ρ (p). {\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = \ int {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho (p)}}.} У цих припущеннях величина

v 2 2 + g h + P = const {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gh + {\ mathcal {P}} = {\ text {const}}} $v 2 2 + g h + P = const {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + gh + {\ mathcal {P}} = {\ text {const}}}$

постійна уздовж будь-якої лінії струму і будь-який вихровий лінії . Співвідношення справедливо для течії в будь-якому потенційному полі , При цьому g h {\ displaystyle gh} постійна уздовж будь-якої лінії струму і будь-який вихровий лінії замінюється на потенціал масової сили φ {\ displaystyle \ varphi} .

для безвихрових баротропного течій, швидкість яких може бути виражена у вигляді градієнта потенціалу швидкості v → = grad ⁡ ψ {\ displaystyle {\ vec {v}} = \ operatorname {grad} \ psi} $для безвихрових баротропного течій, швидкість яких може бути виражена у вигляді градієнта потенціалу швидкості v → = grad ⁡ ψ {\ displaystyle {\ vec {v}} = \ operatorname {grad} \ psi} , Інтеграл Бернуллі у вигляді ∂ ψ ∂ t + (grad ⁡ ψ) 2 + 2 + gh + P = const {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ frac {\ left (\ operatorname {grad} \ psi \ right) ^ {2}} {2}} + gh + {\ cal {P}} = \ mathrm {const}} [K 4] зберігається також в нестаціонарних течіях, причому постійна в правій частині має однакове значення для всього течії [25]$ , Інтеграл Бернуллі у вигляді ∂ ψ ∂ t + (grad ⁡ ψ) 2 + 2 + gh + P = const {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ frac {\ left (\ operatorname {grad} \ psi \ right) ^ {2}} {2}} + gh + {\ cal {P}} = \ mathrm {const}} [K 4] зберігається також в нестаціонарних течіях, причому постійна в правій частині має однакове значення для всього течії [25] .

Формула Сен-Венана - Ванцеля [ правити | правити код ]

Якщо протягом вчиненого газу виконується адіабатичний закон [26]

p = p 0 ρ 0 ρ γ, ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ, P = - γ γ - 1 p 0 ρ 0 [1 - (pp 0) (γ - 1) / γ], {\ displaystyle p = {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ rho ^ {\ gamma}, \ qquad \ rho = {\ frac {\ rho _ {0}} {p_ { 0} ^ {1 / \ gamma}}} p ^ {1 / \ gamma}, \ qquad {\ cal {P}} = - {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ left [1 \ left ({\ frac {p} {p_ {0}}} \ right) ^ {(\ gamma -1) / \ gamma} \ right],} $p = p 0 ρ 0 ρ γ, ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ, P = - γ γ - 1 p 0 ρ 0 [1 - (pp 0) (γ - 1) / γ], {\ displaystyle p = {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ rho ^ {\ gamma}, \ qquad \ rho = {\ frac {\ rho _ {0}} {p_ { 0} ^ {1 / \ gamma}}} p ^ {1 / \ gamma}, \ qquad {\ cal {P}} = - {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ left [1 \ left ({\ frac {p} {p_ {0}}} \ right) ^ {(\ gamma -1) / \ gamma} \ right],}$

то рівняння Бернуллі виражається так [27] (Внеском від сили тяжіння зазвичай можна знехтувати):

v 2 2 - γ γ - 1 p 0 ρ 0 [1 - (pp 0) (γ - 1) / γ] = const {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ left [1 \ left ({\ frac {p} {p_ {0}}} \ right) ^ {(\ gamma -1) / \ gamma} \ right] = \ mathrm {const}} $v 2 2 - γ γ - 1 p 0 ρ 0 [1 - (pp 0) (γ - 1) / γ] = const {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ left [1 \ left ({\ frac {p} {p_ {0}}} \ right) ^ {(\ gamma -1) / \ gamma} \ right] = \ mathrm {const}} уздовж лінії струму або вихровий лінії$ уздовж лінії струму або вихровий лінії. Тут γ = C p C V {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {p}} {C_ {V}}}} - показник адіабати газу, що виражається через теплоємності при постійному тиску і при постійному обсязі, p, ρ {\ displaystyle p, \ \ rho} - тиск і щільність газу, p 0, ρ 0 {\ displaystyle p_ {0}, \ \ rho _ {0}} - умовно обрані постійні (однакові для всього течії) значення тиску і щільності.

За допомогою отриманої формули знаходять швидкість газу, що випливає з посудини з високим тиском через малий отвір. Зручно тиск і щільність газу в посудині, швидкість газу в якому дорівнює нулю, прийняти за p 0, ρ 0, {\ displaystyle p_ {0}, \ \ rho _ {0},} За допомогою отриманої формули знаходять швидкість газу, що випливає з посудини з високим тиском через малий отвір тоді швидкість витікання виражається через зовнішній тиск p {\ displaystyle p} за формулою Сен-Венана - Ванцеля [28] :

v 2 = 2 γ γ - 1 p 0 ρ 0 [1 - (p p 0) (γ - 1) / γ]. {\ Displaystyle v ^ {2} = {\ frac {2 \ gamma} {\ gamma -1}} {\ frac {p_ {0}} {\ rho _ {0}}} \ left [1 \ left ( {\ frac {p} {p_ {0}}} \ right) ^ {(\ gamma -1) / \ gamma} \ right].}

з термодинаміки випливає, що уздовж лінії струму будь-якого стаціонарного течії ідеальної рідини

v 2 2 + w + φ = const, s = const, {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + w + \ varphi = {\ text {const}}, \ quad s = {\ text {const}},} $v 2 2 + w + φ = const, s = const, {\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + w + \ varphi = {\ text {const}}, \ quad s = {\ text {const}},}$

де w {\ displaystyle w} $де w {\ displaystyle w} - ентальпія одиниці маси , Φ {\ displaystyle \ varphi} - гравітаційний потенціал (рівний g z {\ displaystyle gz} для однорідної сили тяжіння), s {\ displaystyle s} - ентропія одиниці маси$ - ентальпія одиниці маси , Φ {\ displaystyle \ varphi} - гравітаційний потенціал (рівний g z {\ displaystyle gz} для однорідної сили тяжіння), s {\ displaystyle s} - ентропія одиниці маси.

Інтеграл Бернуллі застосовують в інженерних розрахунках, в тому числі для середовищ, дуже далеких за своїми властивостями від ідеального газу, наприклад для водяної пари, що використовується в якості теплоносія в парових турбін. При цьому можуть використовуватися так звані діаграми Молье , Що представляють питому ентальпію (по осі ординат ) Як функцію питомої ентропії (по осі абсцис ) І наприклад тиску (або температури) у вигляді сімейства изобар ( ізотерм ). У цьому випадку послідовність станів уздовж лінії струму лежать на деякій вертикальної лінії (s = const {\ displaystyle s = {\ text {const}}} Інтеграл Бернуллі застосовують в інженерних розрахунках, в тому числі для середовищ, дуже далеких за своїми властивостями від ідеального газу, наприклад для водяної пари, що використовується в якості теплоносія в парових турбін ). Довжина відрізка цієї лінії, що відсікається двома изобарами, відповідного початкового і кінцевого тиску теплоносія, дорівнює половині зміни квадрата швидкості [31] .

Інтеграл Бернуллі також зберігається при переході потоку через фронт ударної хвилі, в системі відліку, в якій ударна хвиля покоїться [32] . Однак при такому переході ентропія середовища не залишається постійною (зростає), тому співвідношення Бернуллі є лише одним з трьох співвідношень Гюгоньо , Поряд з законами збереження маси і імпульсу, що пов'язують стан середовища за фронтом зі станом середовища перед фронтом і зі швидкістю ударної хвилі.

Відомі узагальнення інтеграла Бернуллі для деяких класів течій в'язкої рідини (Наприклад, для плоскопаралельних течій [33] ), В магнітної гідродинаміки [34] , Ферогідродинаміка [35] . У релятивістської гідродинаміки, коли швидкості течії стають порівнянними зі швидкістю світла c {\ displaystyle c} Відомі узагальнення інтеграла Бернуллі для деяких класів течій в'язкої рідини (Наприклад, для плоскопаралельних течій [33] ), В магнітної гідродинаміки [34] , Ферогідродинаміка [35] , Інтеграл формулюється в термінах релятивістськи інваріантних [36] питомої ентальпії і питомої ентропії [37] .

↑ У записі Д.Бернулли в явному вигляді не фігурувало внутрішній тиск в рідині [8] [9] [10] .
↑ «... [Висновок теореми Бернуллі з рівняння енергії] збіднює зміст теореми Бернуллі ... Інтеграл Бернуллі, взагалі кажучи, не залежить від рівняння енергії, хоча дійсно збігається з ним для ізоентропіческого і адіабатичного руху досконалого газу» [20] .
↑ «Два ... шляху отримання рівняння Бернуллі не еквівалентні. При енергетичному висновку немає необхідності в припущенні про ізентропічності течії. При інтегруванні рівняння руху інтеграли Бернуллі виходять не тільки уздовж ліній струму, але і вздовж вихрових ліній » [21] .
↑ У російськомовній літературі інтеграл Бернуллі для потенційних течій нестисливої або баротропной рідини відомий як інтеграл Коші - Лагранжа [25]

↑ 1 2 Ландсберг Г. С. Закон Бернуллі, 1985 .
↑ 1 2 3 4 Вишневецький С. Л. Бернуллі рівняння, 1988 .
↑ Тітьенс О., Прандтль Л. Гідро- і механіка, 1933 .
↑ 1 2 3 4 5 Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §24. Теорема Бернуллі.
↑ Мілн-Томсон Л. М. Теоретична гідродинаміка, 1964 .
↑ Сєдов Л. І. Механіка суцільного середовища, 1970 .
↑ Чорний Г. Г. Газова динаміка, 1988 .
↑ Трусделл К. Нариси з історії механіки, 2002 .
↑ Михайлов Г. К., 1999. , С. 17.
↑ Darrigol O. A history of hydrodynamics, 2005 , С. 9.
↑ Трусделл К. Нариси з історії механіки, 2002 , С. 255, 257.
↑ Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757) , С. 331.
↑ 1 2 Сивухин Д. В. Механіка, 1989 , §94. Стаціонарне рух ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі.
↑ Чугаєв Р. Р. Гідравліка. - Л.: енергія , 1975. - 600 с.
↑ Сивухин Д. В. Механіка, 1989 , §95. Приклади на застосування рівняння Бернуллі. Формула Торрічеллі.
↑ Сивухин Д. В. Механіка, 1989 , §94, формула (94.6).
↑ Молоканов Ю. К. Процеси і апарати нефтегазопереработки . - М.: Хімія, 1980. - С. 60. - 408 с.
↑ Я. І. Перельман . Чому притягуються кораблі? (Рос.). Дата звернення 27 грудня 2018.
↑ 1 2 3 4 5 Напір, 1992 .
↑ Бетчелор Дж. Введення в динаміку рідини, 1973 , Примітка Г. Ю. Степанова, с. 208.
↑ Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механіка суцільних середовищ, 2000. , С. 104.
↑ Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §23, рівняння (9).
↑ Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §23, рівняння (7).
↑ Сєдов Л. І. Механіка суцільного середовища, 1970 , Глава VIII. §2, рівняння (2.1).
↑ 1 2 Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §42. Інтеграл Лагранжа - Коші.
↑ Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §24, рівняння (29).
↑ Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §24, рівняння (30).
↑ Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу, 2003 , §24, рівняння (31).
↑ Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Гідродинаміка, 2001. Рівняння (2.4).
↑ Сєдов Л. І. Механіка суцільного середовища, 1970 , Глава VII. §2. Функція тиску.
↑ Поль Р. В., Механіка, акустика і вчення про теплоту, 2013 , С. 446.
↑ Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Гідродинаміка, 2001. , §85.
↑ Голубкин В. Н., Сизих Г. Б. Про деякі загальні властивості плоскопараллельних течій в'язкої рідини // Известия АН СРСР, серія Механіка рідини і газу: журнал. - 1987. - № 3. - С. 176-178. - DOI : 10.1007 / BF01051932 .
↑ Куликівський А. Г. , Любимов Г. А. Магнітна гідродинаміка. - М.: Фізматліт , 1962. - С. 54. - 248 с.
↑ Розенцвейг Р. Ферогідродинаміка / Пер. з англ. під ред. В. В. Гогосова. - М.: світ , 1989. - С. 136. - 359 с. - ISBN 5-03-000997-3 .
↑ Зубарєв Д. Н., Релятивістська термодинаміка, 1994 .
↑ Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Гідродинаміка, 2001. Рівняння (134.11).

Бетчелор Дж. Введення в динаміку рідини / Пер. з англ. під ред. Г. Ю. Степанова . - М.: світ , 1973. - 760 с.
Вишневецький С. Л. Бернуллі рівняння // фізична енциклопедія / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М.: Радянська енциклопедія , 1988. - Т. 1: Ааронового-Бома ефект - Довгі лінії. - С. 187. - 704 с.
Гольдштейн Р. В. , Городцов В. А. Механіка суцільних середовищ. Частина 1. - М.: Фізматліт , 2000. - 256 с. - ISBN 5-02-015555-1 .
Зубарєв, Д. Н. Релятивістська термодинаміка // фізична енциклопедія / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М.: Велика російська енциклопедія , 1994. - Т. 4: Пойнтинга-Робертсона ефект - Стримери. - С. 333-334. - 704 с. - ISBN 5-85270-087-8 .
Ландау, Л. Д. , Ліфшиц, Є. М. Гідродинаміка. - Видання 5-е, стереотипне. - М.: Фізматліт, 2001. - 736 с. - ( « теоретична фізика », Том VI). - ISBN 5-9221-0121-8 .
Лойцянський Л. Г. Механіка рідини і газу. - М.: Дрофа, 2003. - 842 с. - ISBN 5-7107-6327-6 .
Мілн-Томсон Л. М. Теоретична гідродинаміка. - М.: світ , 1964. - 656 с.
Михайлов Г. К. Становлення гідравліки і гідродинаміки в працях петербурзьких академіків (XVIII) // Известия Академии наук, серія Механіка рідини і газу: журнал. - 1999. - Вип. 6. - С. 7-25.
напір // фізична енциклопедія / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М.: Велика російська енциклопедія , 1992. - Т. 3: магнітоплазмове компресор - Пойнтинга теорема. - С. 242. - 672 с. - ISBN 5-85270-019-3 .
Поль Р. В. Механіка, акустика і вчення про теплоту . - Рипол Класик, 2013. - 490 с. - ISBN 5458431251 , 9785458431255.
Сєдов Л. І. Механіка суцільного середовища . - М.: наука , 1970. - Т. 2. - 568 с.
Сивухин Д. В. Загальний курс фізики . - Видання 3-тє, виправлене і доповнене. - М.: наука , 1989. - Т. I. Механіка. - 576 с. - ISBN 5-02-014054-6 .
Тітьенс О., Прандтль Л. Гідро- і механіка. - М.-Л. : ГТТІ , 1933. - Т. 1. - 224 с.
Трусделл К. Нариси з історії механіки . - М. - Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. - 316 с. - ISBN 5-93972-192-3 .
Фабер Т. Є. Гідроаеродинаміка / Пер. з англ. під ред. А. А. Павельева. - М.: Постмаркет, 2001. - 560 с. - ISBN 5-901095-04-9 .
Чорний Г. Г. Газова динаміка. - М.: наука , 1988. - 424 с. - ISBN 5-02-013814-2 .
§182. Закон Бернуллі // Елементарний підручник фізики / Под ред. Г. С. Ландсберг . - М.: наука , 1985. - Т. 1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика.
Darrigol O. Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl. - Oxford: Oxford University Press, 2005. - 356 с. - ISBN 978-0-19-856843-8 .
Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. - Berlin, 1755 (1757). - Т. 11. - С. 316-361.
Truesdell, Clifford Ambrose. Rational fluid mechanics, 1687-1765. Editor's introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. - Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. - Т. 12. - С. I-CXXV. - (II).

Чому притягуються кораблі?