Разработка сайта для Вашего бизнеса. Веб дизайн. Дизайн логотипа, фирменного стиля, рекламная фотография . Комплексный рекламный креатив.

Ralex. We do the work.
На рынке с 1999го года. Средняя ценовая категория. Ориентация на эффективность решений.
Ознакомтесь с нашим портфолио
Узнайте больше о услугах
Свяжитесь с нами:
E-mail: [email protected]
Tel: (044) 587 - 84 - 78
Custom web design & дизайн и разработка сайта "под ключ"
Креативный, эффективный дизайн. Система управления сайтом (СУС).
Custom flexible разработка систем электронной коммерции
Система e-commerce разрабатывается под индивидуальные потребности. Гибкая функциональность.
Search Engine Optimzation & оптимизация под поисковые системы (SEO)
Постоянная оптимизация и мониторинг сайта в поисковых системах. Достигаем результата быстро и эффективно
Custom logo design & дизайн логотипа и фирменного стиля
Многолетний опыт. Огромное портфолио. Уникальное предложение и цена.
профессиональная рекламная фотография
креативно, смело, качественно
Custom logo design & рекламный креатив. дизайн рекламы
Многолетний опыт. Огромное портфолио. Уникальное предложение и цена.

Решаем типовую задачу по аналитической геометрии. Прямая линия на плоскости.

Опубликовано: 05.10.2017

Рассмотрим принцип решения задач по теме : "Прямая линия на плоскости, нахождение уравнения прямой, проходящей через заданную точку, нахождение точек пересечения, углов биссектрис и т.д.".

В качестве примера рассмотрим следующую задачу

Пример: Даны координаты вершин треугольника \(ABC\)   \(A(3; -3); B(-1;-6); C(-6;0)\)

Составьте уравнение сторон треугольника.

Найдите уравнение

высоты \(AD\),

медианы \(BM\),

биссектрисы \(CF\).

Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника \(ABC\).

Найдите угол \(B\) в радианах с точностью до двух знаков.

Сделайте чертеж.

Решение:

Составьте уравнение сторон треугольника . Для составления уравнения сторон треугольника обратимся к условию задачи. В условии даны координаты трех вершин треугольника, т.е. для составления уравнения прямых \(AB,BC,CD\) даны по 2 точки, через которые эти прямые проходят. Для решения воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$ где \((x_1;y_1)\) - координаты первой известной точки, \((x_2;y_2)\) - координаты второй известной точки. Подставим координаты и получим уравнение прямых

прямая \(AB\) , проходит через точки \(A(3; -3); B(-1;-6)\), составим уравнение $$\frac{y-(-3)}{(-6)-(-3)}=\frac{x-3}{-1-3} =>\frac{y+3}{-3}=\frac{x-3}{-4} =>y=\frac{3}{4}x-\frac{21}{4}$$ получили уравнение прямой \(AB\). В уравнении прямой отметим угловой коэффициент \(k_{AB} = \frac{3}{4}\), который понадобится в следующих задачах.

прямая \(BC\) , проходит через точки \(B(-1;-6);C(-6;0)\), составим уравнение $$\frac{y-(-6)}{0-(-6)}=\frac{x-(-1)}{-6-(-1)} =>\frac{y+6}{6}=\frac{x+1}{-5} =>y=-\frac{6}{5}x-\frac{36}{5}$$ получили уравнение прямой \(BC\). В уравнении прямой отметим угловой коэффициент \(k_{BC} = -\frac{6}{5}\), который понадобится в следующих задачах.

прямая \(AC\) , проходит через точки \(A(3; -3);C(-6;0)\), составим уравнение $$\frac{y-(-3)}{0-(-3)}=\frac{x-3}{-6-3} =>\frac{y+3}{3}=\frac{x-3}{-9} =>y=-\frac{1}{3}x-2$$ получили уравнение прямой \(AC\). В уравнении прямой отметим угловой коэффициент \(k_{AC} = -\frac{1}{3}\), который понадобится в следующих задачах.

Найдите уравнение

высоты \(AD\) , в уравнении высоты у нас известна координата только одной точки - \(A(3; -3)\), поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении. $$y-y_0=k_{AD}(x-x_0)$$ , где \((x_0;y_0)\) - координаты известной точки, а \(k_{AD}\) - угловой коэффициент. В данном уравнении нам неизвестен только угловой коэффициент. Найдем его, для этого воспользуемся свойство перпендикулярных прямых. Прямая \(AD \bot BC\). Запишем свойство \(k_{AD}*k_{BC} = -1 =>k_{AD}*( -\frac{6}{5})= -1 =>k_{AD}=\frac{5}{6}\). Составим уравнение прямой \(AD\) $$y-(-3)=\frac{5}{6}(x-3)=>y = \frac{5}{6}x-\frac{11}{2}$$

медианы \(BM\), для нахождения уравнения медианы в задаче даны координаты одной точки \(B(-1;-6)\), а также известно, что медиана делит противоположную сторону пополам. Найдем координаты точки \(M\).  Для этого воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок \(AC\) в заданном отношении \(\lambda\), где \(\lambda = \frac{AM}{MC}=\frac{1}{1}=1\), а координаты \((x_1;y_1),(x_2;y_2)\) - координаты концов отрезка, который делит точка \(M\) т.е.точек \(A(3; -3); C(-6;0)\), подставим и получим $$x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{3+1*(-6)}{1+1}=-\frac{3}{2}$$$$y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{-3+1*0}{1+1}=-\frac{3}{2}$$получили координаты точки \(M(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2})\). Получили две точки, через которые проходит прямая, для получения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\), подставим координаты точек \( B(-1;-6),M(-\frac{3}{2};-\frac{3}{2}) \) и получим $$\frac{y+6}{-\frac{3}{2}+6}=\frac{x+1}{-\frac{3}{2}+1} =>y=-9x-15$$

биссектрисы \(CF\), для нахождения уравнения биссектрисы воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам \(\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}\), т.е. таким образом мы найдем коэффициент \(\lambda\), затем воспользуемся формулой координаты точки, которая делит отрезок \(AB\) в заданном отношении \(\lambda\) и найдем координаты точки \(F\) и последнее, подставим полученные координаты в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Приступим: найдем длины отрезков \(AC\), \(BC\). $$AC = \sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}=\sqrt{(-6-3)^2+(0-(-3))^2} =\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}$$$$BC = \sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}=\sqrt{(-6-(-1))^2+(0-(-6))^2} =\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$$ теперь найдем коэффициент \(\lambda=\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{\frac{90}{61}}\). Найдем координаты точки \(F\) при известных координатах концов отрезка \(AB\) \(A(3; -3); B(-1;-6)\) $$x = \frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}$$$$y = \frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}$$Получили две точки, через которые проходит прямая \(CF\), для получения уравнения прямой \(CF\) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданные две точки \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\), подставим координаты точек \( C(-6;0); F(\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}};\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}) \) и получим $$\frac{y-0}{\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}-0}=\frac{x+6}{\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}+6} =>\frac{y}{\frac{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}}=\frac{x+6}{\frac{3-\sqrt{\frac{90}{61}}+6+6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{1+\sqrt{\frac{90}{61}}}} =>$$$$\frac{y}{-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}}}=\frac{x+6}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}=>$$$$y=\frac{x+6}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}*(-3-6*\sqrt{\frac{90}{61}})=>$$$$y=-\frac{3+6*\sqrt{\frac{90}{61}}}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}*x-18\frac{1+2*\sqrt{\frac{90}{61}}}{9+5\sqrt{\frac{90}{61}}}$$

Составьте систему неравенств, областью решения которой является множество всех точек треугольника \(ABC\). Это множество точек, которые лежат ниже прямой \(AC\), т.е. \(y \leq -\frac{1}{3}x-2\), выше прямых \(BC\) \(y \geq -\frac{6}{5}x-\frac{36}{5}\)  и \(AB\) \(y \geq \frac{3}{4}x-\frac{21}{4}\), запишем это $$\begin{cases}y \leq -\frac{1}{3}x-2 \\ y \geq -\frac{6}{5}x-\frac{36}{5} \\ y \geq \frac{3}{4}x-\frac{21}{4} \end{cases}$$

Найдите угол \(B\) в радианах с точностью до двух знаков. Угол между прямыми рассчитывается по формуле $$\mbox{tg}a = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1*k_2}|$$где \(k_1=k_{BC}=-\frac{6}{5}\), \(k_2=k_{AB}=\frac{3}{4}\) подставим в формулу $$\mbox{tg}a = |\frac{\frac{3}{4}+\frac{6}{5}}{1-\frac{3}{4}*\frac{6}{5}}|=19\frac{1}{2} => a = 87.06^0$$Данная формула позволяет вычислить острый угол между прямыми. Из рисунка видно, что искомый угол \(B\) треугольника - тупой угол \(ΔADB\) - прямоугольный, угол \(D=90\), остальные два угла в сумме меньше \(90^0\), т.е. \(B = 180^0-a=180^0-87.06^0=92,94^0\). В задаче необходимо в ответе указать угол в радианах \(B=92,94^0*\frac{\pi}{180^0}=1,62\)

Сделайте чертеж.

Категории
  • Биология
  • Математика
  • Краеведению
  • Лечебная
  • Наука
  • Физике
  • Природоведение
  • Информатика
  • Новости

  • Новости
    Сайт Майер Елены - ЕГЭ по математике
    Планируется проведение двух отдельных экзаменов – базового и профильного. Кому сдавать базовый ЕГЭ по математике? Базовый ЕГЭ организуется для выпускников, изучающих математику для общего развития

    Для этой работы нужна математика
    Слотов: 956 Рулеток: 7 Лицензия: Pragmatic Play, Microgaming, ELK, Yggdrasil, Habanero, Amatic, Isoftbet, Netent, Rival, Igrosoft, Quickspin. Игры: Автоматы, Покер, Рулетки. Всего 963 Отдача: 98% Бонус

    Веселые задачи по математике 2 класс
    Во время занятий для того, чтобы немного переключить внимание школьников, но при этом не уйти от предмета, можно давать шутливые задачи на сообразительность. Буду пополнять коллекцию таких задач. Дополнительная

    Функция экспонента в Excel
    Одной из самых известных показательных функций в математике является экспонента. Она представляет собой число Эйлера, возведенное в указанную степень. В Экселе существует отдельный оператор, позволяющий

    ЕГЭ по математике 2018
    ЕГЭ по математике, наравне с русским языком , – обязательный экзамен для сдачи выпускниками 11-х классов. По статистике он самый сложный. Мы предлагаем ознакомиться с общей информацией об экзамене и

    Секреты эффективной и быстрой подготовки ко второй части ОГЭ по математике.
    Уважаемые девятиклассники, настоящие или будущие! Часто от вас приходится слышать следующие вопросы. Легко ли подготовиться к заданиям второй части ОГЭ по математике? Сколько для этого понадобится

    Вычисление математических функций в j2me (exp, ln, log, arcsin, arccos, arctn, power, root)
    Конфигурация CDLC 1.1 позволяет работать с вещественными числами, поддерживая тип double . Однако стандартная библиотека Math включает в себя очень скудный набор математических функций: sin

    Тренировочные задания по математике 4 класс николаева иванова ответы 17 сентября 2017 года
    Математика 4 класс Чеботаревская. Математика 4 класс. авторы: Т.М. Чеботаревская,

    Карточки по теме сложение и вычитание столбиком 2 класс математика 15 сентября 2017 года
    15 ноя 2015 ... Методические разработки по Математике для 6 класса.

    Доска картинка - 94 процента ответы к игре
    Слотов: 956 Рулеток: 7 Лицензия: Pragmatic Play, Microgaming, ELK, Yggdrasil, Habanero, Amatic, Isoftbet, Netent, Rival, Igrosoft, Quickspin. Игры: Автоматы, Покер, Рулетки. Всего 963 Отдача: 98% Бонус


    Наши клиенты
    Клиенты

    Быстрая связь

    Тел.: (044) 587-84-78
    E-mail: [email protected]

    Имя:
    E-mail:
    Телефон:
    Вопрос\Комментарий: