- Цікаві факти про число Пі Зазвичай наші знання про число Пі закінчуються на цьому: 3,14159. Не всі...
- Область окружності насправді невідома
- Завдання Бюффона про голці
- Пі і проблема стрічки
- Навігація
- Обробка сигналів і перетворення Фур'є
- Нормальний розподіл ймовірностей
- Цікавий факт про меандрирующие річки
- Пі і послідовність Фібоначчі
- Число Пі і квантова механіка
- Цікаві факти про число Пі
- перший розрахунок
- Область окружності насправді невідома
- Завдання Бюффона про голці
- Пі і проблема стрічки
- Навігація
- Обробка сигналів і перетворення Фур'є
- Нормальний розподіл ймовірностей
- Цікавий факт про меандрирующие річки
- Пі і послідовність Фібоначчі
- Число Пі і квантова механіка
- Цікаві факти про число Пі
- перший розрахунок
- Область окружності насправді невідома
- Завдання Бюффона про голці
- Пі і проблема стрічки
- Навігація
- Обробка сигналів і перетворення Фур'є
- Нормальний розподіл ймовірностей
- Цікавий факт про меандрирующие річки
- Пі і послідовність Фібоначчі
- Число Пі і квантова механіка
Цікаві факти про число Пі
Наша взаимовыгодная связь https://banwar.org/
Зазвичай наші знання про число Пі закінчуються на цьому: 3,14159. Не всі навіть пам'ятають, що це число показує співвідношення окружності кола і його діаметра. Пі - ірраціональне число, тобто воно не може бути записано як простий дріб. До того ж воно нескінченно і є неперіодичної десятковим дробом, що робить його одним з найбільш загадкових чисел, відомих людині.
перший розрахунок
Архімед був першим, хто заговорив про існування числа Пі
Вважається, що вперше про кількість Пі заговорив Архімед. Приблизно в 220 році до н.е. він вивів формулу S = Рi R2 шляхом наближення області окружності, заснованої на області багатокутника, вписаного в коло, і області багатокутника, навколо якого була описана окружність. Обидва багатокутника окреслили нижню і верхню межі кола, тим самим дозволивши Архімеда усвідомити, що недостатня деталь (Пі) знаходиться десь між 3 1/7 і 3 10/71.
Відомий китайський математик і астроном Цзу Чунчжи (429-501) обчислив Пі трохи пізніше, розділивши 355 на 113, але до сих пір невідомо, як він прийшов до такого висновку, оскільки записів, які фіксують його роботу, не збереглося.
Область окружності насправді невідома
Пі - ірраціональне число
У 18 столітті Йоганн Генріх Ламберт довів ірраціональність числа Пі. Ірраціональні числа можна виразити як цілу дріб. Будь-яке раціональне число завжди може бути записано у вигляді дробу, де чисельник і знаменник виражені цілим числом. Можна, звичайно, уявити Пі як просте співвідношення довжини кола і діаметра (Рi = C / D), і завжди буде виходити так, що, якщо діаметр представлений цілим числом, то і довжина кола буде виражена цілим числом, і навпаки.
Ірраціональність числа Пі виражається в тому, що ми ніколи не знаємо реальну довжину окружності (і згодом зону) окружності. Цей факт здавався вченим неминучим, але деякі математики наполягали, що більш точно було б представляти, що у окружності є нескінченна кількість крихітних кутів, замість припущення, що окружність рівна сама по собі.
Завдання Бюффона про голці
За допомогою завдання Бюффона можна обчислити Пі, не вдаючись до кола
Вперше вчені звернули увагу на завдання Бюффона про голці в 1777 році. Ця проблема була визнана однією з найбільш інтригуючих в історії геометричній ймовірності. Ось, як це працює.
Якби перед вами стояло завдання кинути голку певної довжини на аркуш паперу, на якому накреслені лінії такої ж довжини, то ймовірність того, що голка перетне одну з ліній, буде дорівнює числу Пі.
У киданні голки дві змінні: 1. кут падіння і 2. відстань від центру голки до найближчої лінії. Кут може варіюватися в діапазоні від 0 до 180 градусів, а вимірюється він від лінії, паралельної лініях на папері.
Виходить, що ймовірність того, що голка приземлиться таким чином, дорівнює 2 / Пі, або приблизно 64%. Відповідно, число Пі теоретично можна обчислити використовуючи цю техніку, якщо знайдеться той, кому вистачить терпіння проводити цей тоскний експеримент. Зверніть увагу, що тут ніяк не фігурує окружність.
Можливо, складно це все уявити, але, якщо у вас є бажання, можете спробувати.
Пі і проблема стрічки
Довжина кола збільшується строго в співвідношенні з Пі
Уявіть, що ви берете стрічку і обертаєте її навколо земної кулі. (Для спрощення експерименту пропонуємо взяти за істину, що Земля - це рівна сфера, коло якої 40000 км). Тепер спробуйте визначити необхідну довжину стрічки, яку можна буде обернути навколо Землі на відстані 2,54 см над її поверхнею. Якщо вам здається, що друга стрічка повинна бути довше, то ви не самотні в своїх здогадах. Але по факту це зовсім не так: друга стрічка буде всього на 2Пі довше, а це приблизно 16 см.
А ось і розгадка: припустимо, що Земля - ідеальна сфера, величезна коло, довжина якої становить 40000 км (по екватору). Отже, її радіус буде дорівнює 40000 / 2Пі, або 6,37 км. Тепер друга стрічка, яка проходить на відстані 2,54 см над поверхнею Землі: її радіус збільшиться всього на 2,54 см по відношенню до радіуса Землі. Отримуємо рівняння C = 2 Pi (r + 1), яке рівнозначно C = 2 Pi (r) + 2 Pi. Виходячи з цього, ми можемо сказати, що довжина кола другої стрічки збільшиться всього на 2 Пі. Насправді не важливо, який вихідний радіус брати до уваги (Землі і кільця баскетбольного кошика), збільшивши цей радіус на 2,54 см, довжина кола збільшиться всього на 2Пі (приблизно 16 см).
Навігація
Число Пі використовують при розрахунках в навігації
Число Пі грає дуже важливу роль в навігації, особливо, коли мова йде про визначення місця розташування на великій території. Розмір людини дуже малий відносно Землі, тому нам здається, що ми весь час рухаємося по прямій, але це не так. Наприклад, літаки літають по колу і їх шлях повинен бути прорахований, щоб розрахувати час польоту, кількість палива і врахувати всі нюанси.
До того ж, коли ви визначаєте своє місце розташування на Землі за допомогою GPS, число Пі грає важливу роль в цих прорахунках.
А як же навігація, яка вимагає ще більш точного визначення місця розташування, ніж політ з Нью-Йорка в Токіо? Сьюзан Гомес, співробітник NASA, говорить, що більшість розрахунків NASA виробляє, використовуючи числа 15 або 16, особливо, коли мова йде про дуже точних розрахунках для програми, яка контролює і стабілізує космічні кораблі під час польоту.
Обробка сигналів і перетворення Фур'є
Число Пі грає важливу роль при передачі сигналів
Найчастіше число Пі використовують в таких геометричних задачах, як вимір окружності, тим не менш, його роль важлива і в обробці сигналів, в основному в процесі, відомому як перетворення Фур'є, яке трансформує сигнал в спектр частот. Перетворення Фур'є називають «відображенням частотної області» початкового сигналу, де воно співвідноситься як з областю частоти, так і з математичними операціями, які об'єднують область частот і функцію часу.
Люди і технології використовують цей феномен, коли необхідно базове перетворення сигналу, наприклад, коли ваш iPhone приймає повідомлення від вишки стільникового оператора, або коли ваше вухо розрізняє звуки різних частот. Пі, яке фігурує у формулі перетворення Фур'є, відіграє вирішальну і, разом з тим, дивну роль в процесі перетворення, так як лежить в експоненті числа Ейлера (відома математична постійна 2,71828...)
Отже, ви можете дякувати число Пі кожен раз, коли ви робите дзвінок по мобільному або слухаєте трансльований сигнал.
Нормальний розподіл ймовірностей
За допомогою Пі можна зробити розрахунок сили коливань великої конструкції
І якщо використання чіла Пі очікувано в таких операціях як перетворення Фур'є, яке має відношення безпосередньо до сигналів (і, відповідно, хвилях), то його поява у формулі нормального розподілу ймовірностей дивно. Ви, безсумнівно, стикаєтеся з цим горезвісним розподілом раніше - воно бере участь в широкому спектрі явищ, які ми спостерігаємо регулярно, починаючи з кидків кісток і закінчуючи результатами тестів.
Кожен раз, коли ви виявляєте, що в рівнянні ховається число Пі, уявіть, що десь серед математичних формул прихована окружність. У випадку з нормальним розподілом ймовірностей, Пі виражається через гаусів інтеграл (також відомий як інтеграл Ейлера), який являє собою квадратний корінь з числа Пі. Насправді все, що потрібно, це невеликі зміни в змінних в гауссова інтеграл для обчислення нормировочной постійної нормального розподілу.
Одне поширене, але нелогічне застосування гауссовского інтеграла пов'язано з «білим шумом» - нормально розподіленої випадкової величиною, використовуваної для прогнозування всього, починаючи з впливу вітру на літак, і закінчуючи силою коливання балки при великомасштабної конструкції.
Цікавий факт про меандрирующие річки
Річки прокладають свій звивистий шлях у відповідності з числом Пі
Абсолютно несподіваним фактом є те, що число Пі має відношення до меандріруют річках. Заплава річки найчастіше схожа на синусоїду, яка згинається то в одному місці, то в іншому, перетинаючи рівнину. З математичної точки зору це може бути описано як довжина звивистій стежки, розділеної довжиною річки від витоку до гирла. Виявляється, незалежно від довжини річки і кількості її вигинів, її звивистість приблизно дорівнює числу Пі.
Альберт Енштейн висловив кілька припущень, чому річки поводяться саме таким чином. Він зауважив, що вода тече швидше за зовнішній стороні вигину, що призводить до більш сильному руйнуванню берегової лінії і посилення вигину. Потім ці вигини «зустрічаються» один з одним і ділянки річки з'єднуються. Здається, що це зворотно-поступальний рух постійно поправляє сам себе, в той час як ріка продовжує згинатися відповідно до числа Пі.
Пі і послідовність Фібоначчі
Число Пі можна обчислити через послідовність Фебоначчі
Зазвичай для обчислення Пі завжди використовували 2 способи: перший придумав Архімед, другий розробив шотландський математик Джеймс Грегорі.
Кожне наступне число в послідовності Фібоначчі дорівнює сумі попередніх двох чисел. Послідовність виглядає так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Вона нескінченна.
І так як арктангенс 1 дорівнює Пі / 4, це означає, що Пі може бути виражено через послідовність Фібоначчі через наступне рівняння: arctan (1) * 4 = pi.
Крім того, що послідовність Фебоначчі просто красива підбірка цифр, вона відіграє важливу роль в деяких природних явищах. З її допомогою можна змоделювати і описати велику кількість феноменів в математиці, науці, мистецтві та природі. Математичні ідеї, до яких призводить послідовність Фебоначчі, такі як золотий перетин, спіралі, криві, дуже цінуються за їх естетичний зовнішній вигляд, але математики все ще намагаються пояснити глибину зв'язку.
Число Пі і квантова механіка
Пі тісно пов'язане і з теорією відносності Ейнштейна
Пі, поза всякими сумнівами, неминуча і комплексна основа нашого світу, але як же наша безмежна всесвіт? Пі працює у всьому всесвіті і бере безпосередню участь в поясненні природи космосу. Факт, що багато формули використовуються в галузі квантової механіки, яка керує світом атомів і ядер, містять Пі.
Одні з найвідоміших рівнянь цій галузі - рівняння гравітаційного поля Ейнштейна (також відомі як просто рівняння Ейнштейна). Це 10 рівнянь, складених в рамках теорії відносності, які описують фундаментальне взаємодія гравітації в результаті викривлення простору-часу масою і енергією. Величина сили тяжіння, яка присутня в системі, пропорційна кількості енергії і імпульсу, причому константа пропорційності, пов'язана з G, є числовий постійною.
Сподіваємося, що наша статися допомогла вам краще зрозуміти природу і призначення числа Пі. Хто б міг подумати, що воно - невід'ємна частина нашого повсякденного життя і навіть природні процеси відбуваються відповідно до його значенням.
Цікаві факти про число Пі
Зазвичай наші знання про число Пі закінчуються на цьому: 3,14159. Чи не все навіть пам'ятають, що це кількість показує співвідношення окружності кола і його діаметра. Пі - ірраціональне число, тобто воно не може бути записано як простий дріб. До того ж воно нескінченно і є неперіодичної десятковим дробом, що робить його одним з найбільш загадкових чисел, відомих людині.
перший розрахунок
Архімед був першим, хто заговорив про існування числа Пі
Вважається, що вперше про кількість Пі заговорив Архімед. Приблизно в 220 році до н.е. він вивів формулу S = Рi R2 шляхом наближення області окружності, заснованої на області багатокутника, вписаного в коло, і області багатокутника, навколо якого була описана окружність. Обидва багатокутника окреслили нижню і верхню межі кола, тим самим дозволивши Архімеда усвідомити, що недостатня деталь (Пі) знаходиться десь між 3 1/7 і 3 10/71.
Відомий китайський математик і астроном Цзу Чунчжи (429-501) обчислив Пі трохи пізніше, розділивши 355 на 113, але до сих пір не відомо, як він прийшов до такого висновку, оскільки записів, які фіксують його роботу, не збереглося.
Область окружності насправді невідома
Пі - ірраціональне число
У 18 сторіччі Іоганн Генріх Ламберт довів ірраціональність числа Пі. Ірраціональні числа можна виразити як цілу дріб. Будь-яке раціональне число завжди може бути записано у вигляді дробу, де чисельник і знаменник виражені цілим числом. Можна, звичайно, уявити Пі як просте співвідношення довжини кола і діаметра (Рi = C / D), і завжди буде виходити так, що, якщо діаметр представлений цілим числом, то і довжина кола буде виражена цілим числом, і навпаки.
Ірраціональність числа Пі виражається в тому, що ми ніколи не знаємо реальну довжину окружності (і згодом зону) окружності. Цей факт здавався вченим неминучим, але деякі математики наполягали, що більш точно було б представляти, що у окружності є нескінченна кількість крихітних кутів, замість припущення, що окружність рівна сама по собі.
Завдання Бюффона про голці
З допомогою завдання Бюффона можна обчислити Пі, не вдаючись до кола
Вперше вчені звернули увагу на завдання Бюффона про голці в 1777 році. Ця проблема була визнана однією з найбільш інтригуючих в історії геометричній ймовірності. Ось, як це працює.
Якби перед вами стояло завдання кинути голку певної довжини на аркуш паперу, на якому накреслені лінії такої ж довжини, то ймовірність того, що голка перетне одну з ліній, буде дорівнює числу Пі.
У киданні голки дві змінні: 1. кут падіння і 2. відстань від центру голки до найближчої лінії. Кут може варіюватися в діапазоні від 0 до 180 градусів, а вимірюється він від лінії, паралельної лініях на папері.
Виходить, що вірогідність того, що голка приземлиться таким чином дорівнює 2 / Пі, або приблизно 64%. Відповідно, число Пі теоретично можна обчислити використовуючи цю техніку, коли знайдеться той кому вистачить терпіння проводити цей тоскний експеримент. Зверніть увагу, що тут ніяк не фігурує окружність.
Можливо, складно це все уявити, але, коли ви маєте бажання, можете спробувати.
Пі і проблема стрічки
Довжина кола збільшується строго в співвідношенні з Пі
Уявіть, що ви берете стрічку і обертаєте її навколо земної кулі. (Для спрощення експерименту пропонуємо взяти за істину, що Земля - це рівна сфера, коло якої 40000 км). Тепер спробуйте визначити необхідну довжину стрічки, яку можна буде обернути навколо Землі на відстані 2,54 см над її поверхнею. Якщо вам здається, що друга стрічка повинна бути довше, то ви не самотні в своїх здогадах. Але по факту це зовсім не так: друга стрічка буде всього на 2Пі довше, а це приблизно 16 см.
А ось і розгадка: припустимо, що Земля - ідеальна сфера, величезна коло завдовжки якої становить 40000 км (за екватора). Отже, її радіус буде дорівнює 40000 / 2Пі, або 6,37 км. Тепер друга стрічка, яка проходить на відстані 2,54 см над поверхнею Землі: її радіус збільшиться всього на 2,54 см по відношенню до радіуса Землі. Отримуємо рівняння C = 2 Pi (r + 1), яке рівнозначно C = 2 Pi (r) + 2 Pi. Виходячи з цього, ми можемо сказати, що довжина кола другої стрічки збільшиться всього на 2 Пі. Насправді не важливо, який вихідний радіус брати до уваги (Землі і кільця баскетбольного кошика), збільшивши цей радіус на 2,54 см, довжина кола збільшиться всього на 2Пі (приблизно 16 см).
Навігація
Число Пі використовують при розрахунках в навігації
Число Пі грає дуже важливу роль в навігації, особливо, коли мова йде про визначення місця розташування на великій території. Розмір людини дуже малий відносно Землі, тому нам здається, що ми весь час рухаємося по прямій, але це не так. Наприклад, літаки літають по колу і їх шлях повинен бути прорахований, щоб розрахувати час польоту, кількість палива і врахувати всі нюанси.
До того ж, коли ви визначаєте своє місце розташування на Землі за допомогою GPS, число Пі грає важливу роль в цих прорахунках.
А як же навігація, яка вимагає ще більш точного визначення місця розташування, ніж політ з Нью-Йорка в Токіо? Сьюзан Гомес, співробітник NASA, говорить, що більшість розрахунків NASA виробляє, використовуючи числа 15 або 16, особливо, коли йдеться про дуже точних розрахунках для програми, яка контролює і стабілізує космічні кораблі під часом польоту.
Обробка сигналів і перетворення Фур'є
Число Пі грає важливу роль при передачі сигналів
Найчастіше число Пі використовують в таких геометричних задачах, як вимір окружності, тим не менш, його роль важлива і в обробці сигналів, в основному в процесі, відомому як перетворення Фур'є, яке трансформує сигнал в спектр частот. Перетворення Фур'є називають «відображенням частотної області» початкового сигналу, де воно співвідноситься як з областю частоти, так і з математичними операціями, які об'єднують область частот і функцію часу.
Люди і технології використовують цей феномен, коли необхідно базове перетворення сигналу, наприклад, коли ваш iPhone приймає повідомлення від вишки стільникового оператора, або коли ваше вухо розрізняє звуки різних частот. Пі, яке фігурує у формулі перетворення Фур'є, відіграє вирішальну і, разом з тим, дивну роль в процесі перетворення, так як лежить в експоненті числа Ейлера (відома математична постійна 2,71828...)
Отже, ви можете дякувати число Пі кожен раз, коли ви робите дзвінок по мобільному або слухаєте трансльований сигнал.
Нормальний розподіл ймовірностей
За допомогою Пі можна зробити розрахунок сили коливань великої конструкції
І якщо використання чіла Пі очікувано в таких операціях як перетворення Фур'є, яке має відношення безпосередньо до сигналів (і, відповідно, хвилях), то його поява у формулі нормального розподілу ймовірностей дивно. Ви, безсумнівно, стикаєтеся з цим горезвісним розподілом раніше - воно бере участь в широкому спектрі явищ, які ми спостерігаємо регулярно, починаючи із кидків кісток і закінчуючи результатами тестів.
Кожен раз, коли ви виявляєте, що в рівнянні ховається число Пі, уявіть, що десь серед математичних формул прихована окружність. У випадку з нормальним розподілом ймовірностей, Пі виражається через гаусів інтеграл (також відомий як інтеграл Ейлера), який являє собою квадратний корінь з числа Пі. Насправді все, що потрібно, це невеликі зміни в змінних в гауссова інтеграл для обчислення нормировочной постійної нормального розподілу.
Одне поширене, але нелогічне застосування гауссовского інтеграла пов'язано з «білим шумом» - нормально розподіленої випадкової величиною, використовуваної для прогнозування всього, починаючи з впливу вітру на літак, і закінчуючи силою коливання балки при великомасштабної конструкції.
Цікавий факт про меандрирующие річки
Річки прокладають свій звивистий шлях у відповідності з числом Пі
Абсолютно несподіваним фактом є те, що число Пі має відношення до меандріруют річках. Заплава річки найчастіше схожа на синусоїду, яка згинається то в одному місці, то в іншому, перетинаючи рівнину. З математичної точки зору це може бути описано як довжина звивистій стежки, розділеної довжиною річки від витоку до гирла. Виявляється, незалежно від довжини річки і кількості її вигинів, її звивистість приблизно дорівнює числу Пі.
Альберт Енштейн висловив кілька припущень, чому річки поводяться саме таким чином. Він зауважив, що вода тече швидше за зовнішній стороні вигину, що призводить до більш сильному руйнуванню берегової лінії і посилення вигину. Потім ці вигини «зустрічаються» один з одним і ділянки річки з'єднуються. Здається, що це зворотно-поступальний рух постійно поправляє сам себе, в той час як ріка продовжує згинатися відповідно до числа Пі.
Пі і послідовність Фібоначчі
Число Пі можна обчислити через послідовність Фебоначчі
Зазвичай для обчислення Пі завжди використовували 2 способи: перший придумав Архімед, другий розробив шотландський математик Джеймс Грегорі.
Кожне наступне число в послідовності Фібоначчі одно сумі попередніх цих двох чисел. Послідовність виглядає так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Вона нескінченна.
І так як арктангенс 1 дорівнює Пі / 4, це означає, що Пі може бути виражено через послідовність Фібоначчі через наступне рівняння: arctan (1) * 4 = pi.
Крім того, що послідовність Фебоначчі просто красива підбірка цифр, вона відіграє важливу роль в деяких природних явищах. З її допомогою можна змоделювати і описати велику кількість феноменів в математиці, науці, мистецтві та природі. Математичні ідеї, до яких призводить послідовність Фебоначчі, такі як золотий перетин, спіралі, криві, дуже цінуються за їх естетичний зовнішній вигляд, але математики все ще намагаються пояснити глибину зв'язку.
Число Пі і квантова механіка
Пі тісно пов'язане і з теорією відносності Ейнштейна
Пі, поза всякими сумнівами, неминуча і комплексна основа нашого світу, але як же наша безмежна всесвіт? Пі працює у всьому всесвіті і бере безпосередню участь у поясненні природи космосу. Факт, що багато формули використовуються в галузі квантової механіки, яка керує світом атомів і ядер, містять Пі.
Одні з найвідоміших рівнянь цій галузі - рівняння гравітаційного поля Ейнштейна (також відомі як просто рівняння Ейнштейна). Це 10 рівнянь, складених в рамках теорії відносності, які описують фундаментальне взаємодія гравітації в результаті викривлення простору-часу масою і енергією. Величина сили тяжіння, яка присутня в системі, пропорційна кількості енергії і імпульсу, причому константа пропорційності, пов'язана з G, є числовий постійною.
Сподіваємося, що наша статися допомогла вам краще зрозуміти природу і призначення числа Пі. Хто б міг подумати, що воно - невід'ємна частина нашого повсякденного життя і навіть природні процеси відбуваються відповідно до його значенням.
Цікаві факти про число Пі
Зазвичай наші знання про число Пі закінчуються на цьому: 3,14159. Чи не все навіть пам'ятають, що це кількість показує співвідношення окружності кола і його діаметра. Пі - ірраціональне число, тобто воно не може бути записано як простий дріб. До того ж воно нескінченно і є неперіодичної десятковим дробом, що робить його одним з найбільш загадкових чисел, відомих людині.
перший розрахунок
Архімед був першим, хто заговорив про існування числа Пі
Вважається, що вперше про кількість Пі заговорив Архімед. Приблизно в 220 році до н.е. він вивів формулу S = Рi R2 шляхом наближення області окружності, заснованої на області багатокутника, вписаного в коло, і області багатокутника, навколо якого була описана окружність. Обидва багатокутника окреслили нижню і верхню межі кола, тим самим дозволивши Архімеда усвідомити, що недостатня деталь (Пі) знаходиться десь між 3 1/7 і 3 10/71.
Відомий китайський математик і астроном Цзу Чунчжи (429-501) обчислив Пі трохи пізніше, розділивши 355 на 113, але до сих пір не відомо, як він прийшов до такого висновку, оскільки записів, які фіксують його роботу, не збереглося.
Область окружності насправді невідома
Пі - ірраціональне число
У 18 сторіччі Іоганн Генріх Ламберт довів ірраціональність числа Пі. Ірраціональні числа можна виразити як цілу дріб. Будь-яке раціональне число завжди може бути записано у вигляді дробу, де чисельник і знаменник виражені цілим числом. Можна, звичайно, уявити Пі як просте співвідношення довжини кола і діаметра (Рi = C / D), і завжди буде виходити так, що, якщо діаметр представлений цілим числом, то і довжина кола буде виражена цілим числом, і навпаки.
Ірраціональність числа Пі виражається в тому, що ми ніколи не знаємо реальну довжину окружності (і згодом зону) окружності. Цей факт здавався вченим неминучим, але деякі математики наполягали, що більш точно було б представляти, що у окружності є нескінченна кількість крихітних кутів, замість припущення, що окружність рівна сама по собі.
Завдання Бюффона про голці
З допомогою завдання Бюффона можна обчислити Пі, не вдаючись до кола
Вперше вчені звернули увагу на завдання Бюффона про голці в 1777 році. Ця проблема була визнана однією з найбільш інтригуючих в історії геометричній ймовірності. Ось, як це працює.
Якби перед вами стояло завдання кинути голку певної довжини на аркуш паперу, на якому накреслені лінії такої ж довжини, то ймовірність того, що голка перетне одну з ліній, буде дорівнює числу Пі.
У киданні голки дві змінні: 1. кут падіння і 2. відстань від центру голки до найближчої лінії. Кут може варіюватися в діапазоні від 0 до 180 градусів, а вимірюється він від лінії, паралельної лініях на папері.
Виходить, що вірогідність того, що голка приземлиться таким чином дорівнює 2 / Пі, або приблизно 64%. Відповідно, число Пі теоретично можна обчислити використовуючи цю техніку, коли знайдеться той кому вистачить терпіння проводити цей тоскний експеримент. Зверніть увагу, що тут ніяк не фігурує окружність.
Можливо, складно це все уявити, але, коли ви маєте бажання, можете спробувати.
Пі і проблема стрічки
Довжина кола збільшується строго в співвідношенні з Пі
Уявіть, що ви берете стрічку і обертаєте її навколо земної кулі. (Для спрощення експерименту пропонуємо взяти за істину, що Земля - це рівна сфера, коло якої 40000 км). Тепер спробуйте визначити необхідну довжину стрічки, яку можна буде обернути навколо Землі на відстані 2,54 см над її поверхнею. Якщо вам здається, що друга стрічка повинна бути довше, то ви не самотні в своїх здогадах. Але по факту це зовсім не так: друга стрічка буде всього на 2Пі довше, а це приблизно 16 см.
А ось і розгадка: припустимо, що Земля - ідеальна сфера, величезна коло завдовжки якої становить 40000 км (за екватора). Отже, її радіус буде дорівнює 40000 / 2Пі, або 6,37 км. Тепер друга стрічка, яка проходить на відстані 2,54 см над поверхнею Землі: її радіус збільшиться всього на 2,54 см по відношенню до радіуса Землі. Отримуємо рівняння C = 2 Pi (r + 1), яке рівнозначно C = 2 Pi (r) + 2 Pi. Виходячи з цього, ми можемо сказати, що довжина кола другої стрічки збільшиться всього на 2 Пі. Насправді не важливо, який вихідний радіус брати до уваги (Землі і кільця баскетбольного кошика), збільшивши цей радіус на 2,54 см, довжина кола збільшиться всього на 2Пі (приблизно 16 см).
Навігація
Число Пі використовують при розрахунках в навігації
Число Пі грає дуже важливу роль в навігації, особливо, коли мова йде про визначення місця розташування на великій території. Розмір людини дуже малий відносно Землі, тому нам здається, що ми весь час рухаємося по прямій, але це не так. Наприклад, літаки літають по колу і їх шлях повинен бути прорахований, щоб розрахувати час польоту, кількість палива і врахувати всі нюанси.
До того ж, коли ви визначаєте своє місце розташування на Землі за допомогою GPS, число Пі грає важливу роль в цих прорахунках.
А як же навігація, яка вимагає ще більш точного визначення місця розташування, ніж політ з Нью-Йорка в Токіо? Сьюзан Гомес, співробітник NASA, говорить, що більшість розрахунків NASA виробляє, використовуючи числа 15 або 16, особливо, коли йдеться про дуже точних розрахунках для програми, яка контролює і стабілізує космічні кораблі під часом польоту.
Обробка сигналів і перетворення Фур'є
Число Пі грає важливу роль при передачі сигналів
Найчастіше число Пі використовують в таких геометричних задачах, як вимір окружності, тим не менш, його роль важлива і в обробці сигналів, в основному в процесі, відомому як перетворення Фур'є, яке трансформує сигнал в спектр частот. Перетворення Фур'є називають «відображенням частотної області» початкового сигналу, де воно співвідноситься як з областю частоти, так і з математичними операціями, які об'єднують область частот і функцію часу.
Люди і технології використовують цей феномен, коли необхідно базове перетворення сигналу, наприклад, коли ваш iPhone приймає повідомлення від вишки стільникового оператора, або коли ваше вухо розрізняє звуки різних частот. Пі, яке фігурує у формулі перетворення Фур'є, відіграє вирішальну і, разом з тим, дивну роль в процесі перетворення, так як лежить в експоненті числа Ейлера (відома математична постійна 2,71828...)
Отже, ви можете дякувати число Пі кожен раз, коли ви робите дзвінок по мобільному або слухаєте трансльований сигнал.
Нормальний розподіл ймовірностей
За допомогою Пі можна зробити розрахунок сили коливань великої конструкції
І якщо використання чіла Пі очікувано в таких операціях як перетворення Фур'є, яке має відношення безпосередньо до сигналів (і, відповідно, хвилях), то його поява у формулі нормального розподілу ймовірностей дивно. Ви, безсумнівно, стикаєтеся з цим горезвісним розподілом раніше - воно бере участь в широкому спектрі явищ, які ми спостерігаємо регулярно, починаючи із кидків кісток і закінчуючи результатами тестів.
Кожен раз, коли ви виявляєте, що в рівнянні ховається число Пі, уявіть, що десь серед математичних формул прихована окружність. У випадку з нормальним розподілом ймовірностей, Пі виражається через гаусів інтеграл (також відомий як інтеграл Ейлера), який являє собою квадратний корінь з числа Пі. Насправді все, що потрібно, це невеликі зміни в змінних в гауссова інтеграл для обчислення нормировочной постійної нормального розподілу.
Одне поширене, але нелогічне застосування гауссовского інтеграла пов'язано з «білим шумом» - нормально розподіленої випадкової величиною, використовуваної для прогнозування всього, починаючи з впливу вітру на літак, і закінчуючи силою коливання балки при великомасштабної конструкції.
Цікавий факт про меандрирующие річки
Річки прокладають свій звивистий шлях у відповідності з числом Пі
Абсолютно несподіваним фактом є те, що число Пі має відношення до меандріруют річках. Заплава річки найчастіше схожа на синусоїду, яка згинається то в одному місці, то в іншому, перетинаючи рівнину. З математичної точки зору це може бути описано як довжина звивистій стежки, розділеної довжиною річки від витоку до гирла. Виявляється, незалежно від довжини річки і кількості її вигинів, її звивистість приблизно дорівнює числу Пі.
Альберт Енштейн висловив кілька припущень, чому річки поводяться саме таким чином. Він зауважив, що вода тече швидше за зовнішній стороні вигину, що призводить до більш сильному руйнуванню берегової лінії і посилення вигину. Потім ці вигини «зустрічаються» один з одним і ділянки річки з'єднуються. Здається, що це зворотно-поступальний рух постійно поправляє сам себе, в той час як ріка продовжує згинатися відповідно до числа Пі.
Пі і послідовність Фібоначчі
Число Пі можна обчислити через послідовність Фебоначчі
Зазвичай для обчислення Пі завжди використовували 2 способи: перший придумав Архімед, другий розробив шотландський математик Джеймс Грегорі.
Кожне наступне число в послідовності Фібоначчі одно сумі попередніх цих двох чисел. Послідовність виглядає так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Вона нескінченна.
І так як арктангенс 1 дорівнює Пі / 4, це означає, що Пі може бути виражено через послідовність Фібоначчі через наступне рівняння: arctan (1) * 4 = pi.
Крім того, що послідовність Фебоначчі просто красива підбірка цифр, вона відіграє важливу роль в деяких природних явищах. З її допомогою можна змоделювати і описати велику кількість феноменів в математиці, науці, мистецтві та природі. Математичні ідеї, до яких призводить послідовність Фебоначчі, такі як золотий перетин, спіралі, криві, дуже цінуються за їх естетичний зовнішній вигляд, але математики все ще намагаються пояснити глибину зв'язку.
Число Пі і квантова механіка
Пі тісно пов'язане і з теорією відносності Ейнштейна
Пі, поза всякими сумнівами, неминуча і комплексна основа нашого світу, але як же наша безмежна всесвіт? Пі працює у всьому всесвіті і бере безпосередню участь у поясненні природи космосу. Факт, що багато формули використовуються в галузі квантової механіки, яка керує світом атомів і ядер, містять Пі.
Одні з найвідоміших рівнянь цій галузі - рівняння гравітаційного поля Ейнштейна (також відомі як просто рівняння Ейнштейна). Це 10 рівнянь, складених в рамках теорії відносності, які описують фундаментальне взаємодія гравітації в результаті викривлення простору-часу масою і енергією. Величина сили тяжіння, яка присутня в системі, пропорційна кількості енергії і імпульсу, причому константа пропорційності, пов'язана з G, є числовий постійною.
Сподіваємося, що наша статися допомогла вам краще зрозуміти природу і призначення числа Пі. Хто б міг подумати, що воно - невід'ємна частина нашого повсякденного життя і навіть природні процеси відбуваються відповідно до його значенням.
А як же навігація, яка вимагає ще більш точного визначення місця розташування, ніж політ з Нью-Йорка в Токіо?А як же навігація, яка вимагає ще більш точного визначення місця розташування, ніж політ з Нью-Йорка в Токіо?
А як же навігація, яка вимагає ще більш точного визначення місця розташування, ніж політ з Нью-Йорка в Токіо?
Наша взаимовыгодная связь https://banwar.org/. Запустив новый сайт, "Пари Матч" обещает своим клиентам незабываемый опыт и возможность выиграть крупные суммы.
